自主文章海

#前推法

『牽一髮，動全身』--成語

上節談到先備知識。

如果A是B先備知識，我們可以說B是A的後續知識。
當一個知識環節有漏洞時，它的後續知識必然也不紮實。

比方說，三角函數是畢式定理的後續知識。
如果小孩對什麼是畢氏定理、如何推導都不清楚，那麼他在三角函數方面的知識，肯定是結構鬆散的。

小學的乘法也是如此。如果連加法都不能掌握，就不可能掌握乘法。
這樣的小孩，就算會背九九乘法表，也只是死記下來的，因為他不瞭解乘法表裡面的數學結構。

這不能怪小孩，因為他也不知道自己哪裡有漏洞、哪個環節不紮實。
因此，才需要協助。

如果在教學過程中，用倒溯法找到了一個根本的漏洞A，也教會了小孩。那麼馬上可以知道，A的後續B、C、D，就是接下來的目標。

因為原本不懂A，所以他的B、C、D一定都是漏洞。
打鐵趁熱，在剛剛明白A的情況下，他在一貫的脈絡下，接著去學B、C、D，肯定事半功倍。
而且學習後續知識的過程，也是在複習先備知識A。

舉例而言，如果長方形的面積公式原理是漏洞，那麼補完它後，平行四邊形、三角形和梯形的面積公式原理，就是接下來的目標。

同理，如果配方法是漏洞，那麼補完它後，一元二次方程式的公式解就是接下來的目標。

其實，追蹤後續知識的方法，對需要延伸的小孩，也很有用。
資優與程度較高的小孩，常會覺得課內的東西太簡單、太無聊，沒法子填飽他的胃口。
如果像一些所謂的『資優班』那樣，在同樣的小範圍中，出一推鑽牛角尖、刁難人的題目，無疑是抹殺他們的才智。

追蹤後續知識的方法，可以找到他實際的程度，避免在已經會的東西上打轉。我們可以一直前推到超出範圍，不受限於課本，接觸更深更廣的題材。這樣他們才會有真正的興趣和成就感。

上節的『倒溯法』是從不會的地方開始，由前往後，追蹤先備知識。

從會了的地方開始，由後往前，追蹤後續知識的方法，我稱為『前推法』。

編按：宗浩老師的〈一對一數學診斷與教學的基本技巧〉分六期刊出，目前為第二篇，第一篇請連結上期電子報閱讀。智邦過期電子報請按此

#面對錯誤

『人非聖賢，熟能無過？知過能改，善莫大焉。』--諺語

前幾篇提到：診斷與教學合一的倒溯法、前推法、主客易位法，以及具體經驗和心理障礙的考量。
這一篇探討另外的主題：如何面對小孩的計算錯誤？

數學常見的解題錯誤大至可分為三類，包含閱讀錯誤、計算錯誤、觀念錯誤。
前幾篇介紹的方法，對觀念錯誤相當有效。本篇探討如何面對閱讀和計算錯誤。

『閱讀錯誤』是指誤解問題、或無法把問題用數學式表達，造成的錯誤。

如果題目要算8的開立方，但是寫的人看成8的開平方，當然後面都會錯。這跟觀念與計算都無關。
如果小孩常犯閱讀錯誤，應該加強的是語文、閱讀能力，而不是計算能力。

有些小孩雖然看得懂題目的敘述，卻不知道怎麼把它畫成易懂的圖表、寫成好算的式子，這就需要一些示範和演練，來增進『轉譯』的能力。

無論是看不懂題意，或是轉譯的困難，其實都是語文的範圍。
數學的語言，就像外語一樣，有它的文法和習慣。把中文轉譯成英文，和把中文轉譯成數學符號，是類似的過程。

當小孩對抽象符號不太能掌握時，學著用圖形、表格當中介，相當有益。我在大學學習抽象的數學時，也還是靠輔助圖形來幫助自己理解。

接下來讓我們來看『計算錯誤』。

『計算錯誤』通常被當作粗心大意，似乎只要小心點、多練習就會好。

在小學高年級和國中，許多小孩觀念還不錯，卻因計算錯誤而被家長、老師過度指責，造成不必要的挫折感，打擊自信，相當可惜。

其實對大部份的小孩來說，計算完美無瑕是不可能的。這種要求也不合理。
合理的要求是：錯誤率不要太高，而且自己有辦法找出錯誤。

應該讓小孩養成留下計算過程的習慣。
如果他有用算式、輔助圖來解題，就應該保留這些過程，不要一算出答案就把它們擦掉。
計算過程不必非常美觀，但是至少要讓他自己能看懂。

為什麼要建立留下記錄的習慣呢？
不是為了不犯錯，是為了能除錯。
只要小孩還有學習動力，除錯法就比直接訂正好。

當小孩計算出錯時，別忘了先肯定他的觀念正確。
再來，不要指出錯在哪裡，只要告訴他說這題有算錯，請他自己找出來訂正。
只要計算過程清楚，通常小孩都可以自己找到錯處，自己訂正。
真的不行時，再講出錯在哪裡也不遲。

除錯的能力，也是一種自我檢視的能力。
對小孩而言，學習如何記錄、如何除錯，比去為『永不出錯』拼命，更人性、也更有意義，不是嗎？
　

編按：宗浩老師的〈一對一數學診斷與教學的基本技巧〉分六期刊出，目前為第六篇，以全部刊畢。前篇請連結過期電子報閱讀。過期電子報請按此

#主客易位法

『人都願意改變，只是不喜歡被改變』--西諺

前面提到了倒溯、前推、具體經驗和繞道法。
本節介紹一種和倒溯、前推相關，但是更強力的方法。這也是我最喜歡的方法。

在複習一整學期、一整年甚至三年的範圍時，小孩往往會不知從何下手。
很多人寫了一大堆題目，把自己弄得頭昏眼花，效果還是很有限，為什麼呢？

其實，在寫題目之前，有更基本的工夫，就是把觀念整理清楚。
這就像是蓋房子要先打地基。地基不穩，再怎麼蓋，很快也就垮壞了。

要整理觀念的話，在每個章節寫一兩題，不會的地方查課本，徹底弄懂，也就夠了。在整理觀念的階段，過度操練絕對有害無益。大量練習只有在觀念清楚之後才有好處。

如果小孩的表達能力還不錯，下面的複習方法相當有益：

方法就是反客為主，不是我去教他，而是他來教我。我常說『把我當成不會的人』。

比方說，有一次幫朋友複習國中三年的範圍，我就請他帶著課本，把我當成不會的人來教。
過程中，每當我覺得邏輯怪怪的、聽不懂，就會提出來問。如果他說不出個所以然，代表這部份觀念不清，是個漏洞。
一發現漏洞所在，我就針對它來講解。講解完了，再回頭扮演『學生』的角色，聽他講述。

其實，只要小孩能清楚解釋的概念，他自己一定就是會的。
反之，無法解釋的部份，一定就是知識系統的漏洞。

這就像要清一條河的水道，就讓水自己去流，遇到卡住的地方再去清理即可。
當小孩發現自己解釋不出來時，也會比較虛心向學、認真聽講。
不然，無論幫他複習什麼，他可能都會說：我學過了！我已經會了！

這個清水道的過程有幾個優點：

第一，它很有效率。
第二，雙方的角色完全是合作的，而不是對立的。
第三，小孩在過程中會培養自己組織知識、檢視知識和表達的能力。
第四，大人就算自己完全不懂，還是可以用這種方法，幫小孩複習，自己也順便學一點數學。

最後，當小孩解釋不出來時，千萬不要罵他笨。
這個方法是在找他需要補強之處，所以有很多解釋不出來的地方是應該的。
大人應該慶幸：我終於瞭解，他在這麼基礎的地方也需要幫忙。

這種方法我十分喜歡。
不只作為教學技巧，它也是我常用的學習方法。
向別人講解的過程中，可以溫故知新。往往學到最多的，是教的人。
讓小孩扮演『教』的角色，徹底複習觀念的技巧，我稱它為『主客易位法』。

編按：宗浩老師的〈一對一數學診斷與教學的基本技巧〉分六期刊出，目前為第五篇，前篇請連結上期電子報閱讀。智邦過期電子報請按此

#具體經驗

『太上，不知有之；其次，親之譽之。』--《道德經》

前兩節談到了倒溯法和前推法。
把它們交互運用，可以在知識體系中織起密實的網子，搭起堅固的鷹架，補舊的破洞、做新的拓展。

不過，知識環節只是數學的骨架，而不是血肉。

有時候會遇到這樣的情況：

『7乘以6是多少？』『七六...七六...不知道。』
『那你知道6乘以7是多少嗎？』『六七...六七...42。』
『7乘以6和6乘以7會一樣嗎？』『會。』
『為什麼？』『7個6和6個7一樣啊。』

在知識上，這個小孩懂得乘法的意義和交換性，但是這個知識並沒有內化、變成一種自然而然的感覺。
所以當他背不出『七六』的時候，不會想到用『六七』來替代。

或者像是：

『半斤是8兩，那麼一兩是幾斤呢？』『8斤。』
『8斤？8斤比半斤多還是少？』『多。』
『那怎麼會是8斤呢？再想想。』『嗯...要先除2再乘8嗎？』

這是量感的問題。
如果幫他把圖畫出來，他多半會算。但是他對單位之間的關係沒有感覺。

數學能力的血肉，就是這種感覺。對數字的感覺，長度、重量、時間、面積的感覺，均分的經驗，機率感、策略運用等等。

在國中小和學齡前，這種感覺主要是靠遊戲和具體活動來建立的。

任何遊戲，只要用到策略，就和數學經驗有關。
不只是樸克牌、圍棋、魔法牌，連紅綠燈、大風吹、桌球、籃球，都是豐富的經驗來源。
單車、爬竿、捉蟲，用身體得到的經驗，也是相當寶貴的。

數學並不是加、減、乘、除、算一算答案，那叫算術；也不是公理、定義、定理，那叫公理系統。
數學是在尋找變動的世界背後，不變的秩序，並且把它用符號表現出來，讓大家都能理解、運用。
因此，很多看起來不是數學的東西，都能提供富豐的數學經驗。

以廚藝為例。

看食譜、考慮人數，是比例的經驗；不同大小的匙、量杯一杯和一格的區別，是單位的經驗；切菜、切蛋糕，是分數的經驗；火候的調控，是時間與函數的經驗。

在測量麵粉重量的時候、在目測茸絲長度的時候，就經驗到了數學；在設定烤箱溫度的時候、在把蛋汁打均的時候，就經驗到了數學。

每一種工藝，每一樣文明的產物，都有它的秩序、策略和條理。
小孩在從事它們的時候，並不會說『啊！這是分數』、『啊！這是比例』、『酷！座標變換！』。但是，無論是廚藝、武術、縫紉、繪畫、魔術，這些動手又動腦的經驗，都會使小孩的數學感變得豐富。

豐富的數學感，有助於學習數學、有助於內化數學、有助於把數學應用到生活。
如此，小孩才能用其所學，不會一直追問：數學有什麼用？

　

編按：宗浩老師的〈一對一數學診斷與教學的基本技巧〉分六期刊出，目前為第三篇，第一篇請連結上期電子報閱讀。智邦過期電子報請按此

　　記得有數次和媽媽談到職場競爭時，起初唸書不多的媽媽提及能讀書做辦公桌就很幸福了，不像我們沒念什麼書的只能做勞力，當時年輕氣盛的我不耐煩回答：妳不懂啦！我猶記得媽媽的反應是錯愕的，那錯愕中帶著自卑與生氣，我想她誤會我的意思了，她一直對於沒念什麼書感到遺憾，或者有點自卑吧，所以對於我的反應理所當然感到受傷，我猜她大概想成我認為她沒讀書所以不懂。前幾日，和媽媽談起自己的狀況時，她一直猜為什麼會有憂鬱症呢？我說家庭、學業、工作、婚姻等等都有影響，不是那麼單一的因素造成，其中我再度提到職場，沒想到媽媽這回的反應不一樣了，她說以前她們工作時也會有人鉤心鬥角、討好上司、說人壞話等，我說讀過書的人玩的花招可不止於此，可能更嚴重呢，不像妳們比較單純善良，媽媽笑說對喔！讀過書的人愈會動頭腦，好就很好，壞就很壞。

　　我不是批評讀書人，而是反思所謂讀書、學習，究竟教會人們什麼？當學生為了學習必須討好老師，必須扭曲自己時，究竟學到了什麼？當學生學習是為了以後在主流社會上有一席之地，而那所謂一席之地就是要在上位時，又學到了什麼？會不會學到的只是權力、慾望、掌控、壓迫與自私？記得在寫論文時，我曾提及學術是要服務於田野，而不是從田野中掠奪資源後，又鄙視田野常民，學術不該是一群知識份子躲在象牙塔中玩的遊戲，學術要懂得尊重、懂得謙卑，因為沒有田野就沒有學術。

　　我們常聽見一些自詡為專家的人侃侃而談，一副自己就是天就是地，說了算，可事實真是如此嗎？有哪個專家敢百分百確定自己所學所知的就是盡頭？就是鐵律？

　　在我的學習過程中，曾遇到幾位讓我很敬佩的老師，一位在台灣物理學界非常資深且重量級的教授陳國鎮教授，當他研究物理數十年後發現世界上有太多物理無法解釋的東西，他開始擴大胸懷探索更未知的領域，他願意敞開、接納與傾聽，並不以自己多年的學術成就畫地自限，若是遇到非他領域內的東西，他會謙虛的說明自己不擅長此項，可以請教該領域內的老師。在他身上我看見了學習是一種謙卑，一種胸懷。

　　還有一位在人類學界也是重量級的教授翁玲玲教授，她頂著英國牛津大學人類學博士的頭銜，卻在第一堂課就告訴學生盡量發問，最好是可以推翻她，把她問倒，這樣才有教學相長的意義。她的風範讓我甚為懾服，我在她身上除了看見自信外，更看見了一種胸襟和氣度，這是學習。

　　另外一位是學心理諮商的香君老師，她上課的特色就是能夠容納田野的聲音，甚至邀請田野的例子或人們來課堂上分享經驗，她也認真聆聽學習。在她身上我看見田野的珍貴與被尊重，這是學習。

　　有時候我在想之所以經歷學習後會自以為是的人，是不是因為生命的底蘊其實是自卑？或者是被壓迫？或者太需要其他聲音的肯定？然而，透過這樣的學習循環，卻又讓自己再度成為壓迫他人的人，這樣的學習意義是什麼？

　　學習究竟教會了人們什麼？

　　宗教領袖達賴喇嘛的位置可說是世界級的重量級，但他仍會主動參與其他宗教的活動，甚至謙虛的發問、了解，他曾與許多科學家、哲學家、心理學家對話，並謙虛的向這些所謂的專家們學習請教，學習是什麼？

　　我想，所謂學習，不是一種手段，不是一種謀略，更不是一種身分表徵，而是一種謙卑。

　　因為，學習讓我們看見世界有多大，自己有多麼渺小......

做學問的技術要高明，心態則要傻；而成就至高，要走火入魔。

數學家Hadama曾經說過：「如果一個問題不能解決，必定存在更簡單的問題不能解決。」我們首先從這句話中可一窺數學的本質──數學是人為的科學，既是人為，便可究其根底。也許有個小秘訣可以透露給讀者：想學好數學，便要把等式與等式之間的「imply」搞清楚！而如果把每個「imply」當成運作數學的齒輪，那這齒輪運作的條件只接受「公理、定義、定理、和題設」。

自修數學的方法，跟做數學研究的方法有不少相同之處，我想直接討論問題核心──「如何自修？」

態度上，Euclid說過「There is no royal road to mathematics.」無論你抱持甚麼目的學數學，只是為了得到學分、得到某個數學程度的認證或是對數學有興趣、抑或想要深入研究，抱持僥倖絕對沒有辦法得到好結果。實際層面來說，有幾件事情是尤其不能放過：對公理的基本認知、描述（state）定義、了解定理內容、和看清題目假設。我建議讀者在研讀數學知識時，最好隨手抄記文章中作者的定義（Definition）、使用假設（Hypothesis）與結論（conclusion）去描述定理、最後整理概念圖。舉例說明如下：

一個好的定義必然要有嚴謹的邏輯量號，熟悉幾個重要邏輯術語是必要的：

對所有／對任意（for all / for any）、存在（exist）、蘊含（imply）、若且唯若（if and only if）

值得注意的，「對所有」跟「存在」常常混用，像說函數序列{f1. f2, ...}均勻收斂（uniformly converge）的定義，正確敘述為：存在一f，給定任意正數ε，存在正數Ｎ，使得對所有n > N，對任意x，｜fn(x) – f(x) | <ε。沒經過嚴謹數學訓練的人，也許認為表面上眼花就算了，硬是記下來應當沒有問題，但常常寫出證明來便破綻百出了，像是寫成存在一f，存在正數Ｎ，給定任意正數ε，使得對所有n > N，對任意x，｜fn(x) – f(x) | <ε。這種邏輯上的大錯，就連數學系的學生都屢見不鮮，錯在存在跟對所有不能夠互換，意思大有問題！「對天下所有人，存在一個母親」（每個人都有母親）「存在一個母親，對天下所有人。」（有個人是所有人的母親）當然不一樣吧！

敘述定理的能力建立在能夠熟悉使用邏輯符號，我在此推薦大家每看到一個定理，就用假設（H）與結論（C）方式條列出來，舉例來說：均值定理（Mean-Valued Theorem）我們試敘述如下：

(H1) f 在區間[a,b]連續           (C) 存在一ξ屬於(a,b)使得

(H2) f 在區間(a,b)可微            f’(ξ) =[f(b)-f(a)] / (b-a)

這樣就能夠清楚知道由怎樣的假設，可以得到怎樣的結論了！尤其在高等數學中，我們還需要從假設的強弱性去正確引用定理，如此一來可以清楚的做比較。

最後，我們要整理一個章節作者想傳達的概念，常常可以透過圖表來做思考上的整理與複習。學習大學微積分的同學，可能對多變量函數的連續與可微性感到頭痛，我試著表列如下：

 而圖中沒有畫上箭頭的，我們也要為他找到反例。

（不斷默念在心：正確者提出證明，錯誤者提出反例。）

以上我對於學習數學提出一種模式，我們現在來探討閱讀層面：

首先，一本好的教材不可少。所謂好教材，並非是經典巨作就盲目追求。像在分析上，Rudin稱得上一本好書，對於數熱愛研究數學的學生來說，定義跟定理都簡潔的恰到好處。但對於非研究數學的人，看起來簡直像天書。重要的是選擇評價優良，自己讀起來也對味的。如果行有餘力，只選讀一本書只怕是一方之言，有時候我們也必須參考多本著作，有時候不同作者看法觀點各有不同，所謂掌握資訊者掌握先機，尤其對於自修者來說，蒐集資訊的能力必須更加把勁！

有人說，數學之所以開始蓬勃發展，是來自於各個領域的問題。像是當初擺線長問題、面積變化律問題、數列級數...... 使人們開始研究微積分；費馬最後定理，使數學家開始研究代數。而自修數學本身，也需要好好做題目！做題目能讓我們明白如何運用定理，沒有做題目簡直就是沒有把書讀進去。

而做題目也並非盲目，比較有效的方式是，選擇代表性的問題，寫詳解出來，或是與朋友們共同討論解答過程，或是尋求老師訂正。而寫題目最重要的是得到心得！能歸納出解題策略或是解題方針。

接著是理論吸收的部分， 我主張先了解作者想傳達甚麼觀念。同學常常一股腦鑽進證明的細節裡面，或乾脆連證明都不看就去寫題目，忘記本來要傳達的事情。

證明的重要性，在於觸類旁通，以及眼光的傳承、思想的傳遞。有時候，如果真的看幾遍看不懂，不是有志研究數學者，可以不要太拘謹，能瞭解證明的大綱、走向就足夠了，更細的部份比較需要時間消化。

很多人問我問題，其中最低層次的，就是問個問題我要翻書給他看，「諾，這裡定義寫這樣...」

第二個層次就是假讀書，自以為看懂定理，卻不知道怎麼用，不努力寫題目。也有一部分的人忽略記憶的必要性。一些經典的證明有時候必須記憶，因為這對處理數學很多「形狀」，或說思路，很有幫助：同樣的思路，到處都可以用上。

第三個層次，就是題目會做，卻不太會應對新題型。看起來會了但是沒有彈性，基本觀念不夠清楚，做題目做得很熟但沒有抓到感覺。

學習數學的過程，就好像在看一場魔術：用心看的人，可能覺得有趣，就會仔細思考過程中魔術師是如何偷天換日，而不用心看的人，只是坐在那而讓魔術師來騙自己。我們也常這樣，以為自己花很多時間看數學，就應該得到高分，但往往大部分的時間都是虛度，以為只看懂定義定理就夠了，這不就是放著題目在桌上騙自己會做嗎？