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對一數學診斷與教學的基本技巧(六之二)/唐宗浩
alearn 在天空部落發表於13:19:56 | 教與學

#前推法

『牽一髮,動全身』--成語

上節談到先備知識。

如果A是B先備知識,我們可以說B是A的後續知識。
當一個知識環節有漏洞時,它的後續知識必然也不紮實。

比方說,三角函數是畢式定理的後續知識。
如果小孩對什麼是畢氏定理、如何推導都不清楚,那麼他在三角函數方面的知識,肯定是結構鬆散的。

小學的乘法也是如此。如果連加法都不能掌握,就不可能掌握乘法。
這樣的小孩,就算會背九九乘法表,也只是死記下來的,因為他不瞭解乘法表裡面的數學結構。

這不能怪小孩,因為他也不知道自己哪裡有漏洞、哪個環節不紮實。
因此,才需要協助。

如果在教學過程中,用倒溯法找到了一個根本的漏洞A,也教會了小孩。那麼馬上可以知道,A的後續B、C、D,就是接下來的目標。

因為原本不懂A,所以他的B、C、D一定都是漏洞。
打鐵趁熱,在剛剛明白A的情況下,他在一貫的脈絡下,接著去學B、C、D,肯定事半功倍。
而且學習後續知識的過程,也是在複習先備知識A。

舉例而言,如果長方形的面積公式原理是漏洞,那麼補完它後,平行四邊形、三角形和梯形的面積公式原理,就是接下來的目標。

同理,如果配方法是漏洞,那麼補完它後,一元二次方程式的公式解就是接下來的目標。

其實,追蹤後續知識的方法,對需要延伸的小孩,也很有用。
資優與程度較高的小孩,常會覺得課內的東西太簡單、太無聊,沒法子填飽他的胃口。
如果像一些所謂的『資優班』那樣,在同樣的小範圍中,出一推鑽牛角尖、刁難人的題目,無疑是抹殺他們的才智。

追蹤後續知識的方法,可以找到他實際的程度,避免在已經會的東西上打轉。我們可以一直前推到超出範圍,不受限於課本,接觸更深更廣的題材。這樣他們才會有真正的興趣和成就感。

上節的『倒溯法』是從不會的地方開始,由前往後,追蹤先備知識。

從會了的地方開始,由後往前,追蹤後續知識的方法,我稱為『前推法』。

 

編按:宗浩老師的〈一對一數學診斷與教學的基本技巧〉分六期刊出,目前為第二篇,第一篇請連結上期電子報閱讀。智邦過期電子報請按此

 


一對一數學診斷與教學的基本技巧(六之六)/唐宗浩
alearn 在天空部落發表於13:17:57 | 教與學

#面對錯誤

『人非聖賢,熟能無過?知過能改,善莫大焉。』--諺語

前幾篇提到:診斷與教學合一的倒溯法、前推法、主客易位法,以及具體經驗和心理障礙的考量。
這一篇探討另外的主題:如何面對小孩的計算錯誤?

數學常見的解題錯誤大至可分為三類,包含閱讀錯誤、計算錯誤、觀念錯誤。
前幾篇介紹的方法,對觀念錯誤相當有效。本篇探討如何面對閱讀和計算錯誤。

『閱讀錯誤』是指誤解問題、或無法把問題用數學式表達,造成的錯誤。

如果題目要算8的開立方,但是寫的人看成8的開平方,當然後面都會錯。這跟觀念與計算都無關。
如果小孩常犯閱讀錯誤,應該加強的是語文、閱讀能力,而不是計算能力。

有些小孩雖然看得懂題目的敘述,卻不知道怎麼把它畫成易懂的圖表、寫成好算的式子,這就需要一些示範和演練,來增進『轉譯』的能力。

無論是看不懂題意,或是轉譯的困難,其實都是語文的範圍。
數學的語言,就像外語一樣,有它的文法和習慣。把中文轉譯成英文,和把中文轉譯成數學符號,是類似的過程。

當小孩對抽象符號不太能掌握時,學著用圖形、表格當中介,相當有益。我在大學學習抽象的數學時,也還是靠輔助圖形來幫助自己理解。

接下來讓我們來看『計算錯誤』。

『計算錯誤』通常被當作粗心大意,似乎只要小心點、多練習就會好。

在小學高年級和國中,許多小孩觀念還不錯,卻因計算錯誤而被家長、老師過度指責,造成不必要的挫折感,打擊自信,相當可惜。

其實對大部份的小孩來說,計算完美無瑕是不可能的。這種要求也不合理。
合理的要求是:錯誤率不要太高,而且自己有辦法找出錯誤。

應該讓小孩養成留下計算過程的習慣。
如果他有用算式、輔助圖來解題,就應該保留這些過程,不要一算出答案就把它們擦掉。
計算過程不必非常美觀,但是至少要讓他自己能看懂。

為什麼要建立留下記錄的習慣呢?
不是為了不犯錯,是為了能除錯。
只要小孩還有學習動力,除錯法就比直接訂正好。

當小孩計算出錯時,別忘了先肯定他的觀念正確。
再來,不要指出錯在哪裡,只要告訴他說這題有算錯,請他自己找出來訂正。
只要計算過程清楚,通常小孩都可以自己找到錯處,自己訂正。
真的不行時,再講出錯在哪裡也不遲。

除錯的能力,也是一種自我檢視的能力。
對小孩而言,學習如何記錄、如何除錯,比去為『永不出錯』拼命,更人性、也更有意義,不是嗎?
 

編按:宗浩老師的〈一對一數學診斷與教學的基本技巧〉分六期刊出,目前為第六篇,以全部刊畢。前篇請連結過期電子報閱讀。過期電子報請按此


喚醒沉睡的腳步尋找走路的目的/高政宇
alearn 在天空部落發表於13:16:01 | 少年手.少年心
走路是不分國界不分宗教,而是要察覺自己跨出去的步伐、尋找路的目的。

 

  工作一段時間後,我在未察覺的情況下,慢慢與自己的腳步脫離,可以說忘記走路的感覺。在一次與朋友對話中,得知三月一日這一天,媽祖凌晨一點要從白沙屯,行進兩天三十六小時到北港,原本以為是兩天分配走三十六小時,最後得知是兩天連續走三十六小時。一路上沒有睡眠時間,就是不停的走,走到北港。一聽到這個消息,覺得這段旅程是非常非常累的,同時也感受到一股濃厚的興趣,所以開始打探相關的時程、路線、住宿、集合。雖然得知了這些訊息,但心中卻卡了一個心梗,因為三月一日前兩天,我所屬的劇團在外有表演。一天在台南另一天在桃園龜山,兩場時間相當接近,行程非常趕,而且龜山演完已經八點,收拾過後是九點多,所以心中一直猶豫到底要不要去接受這個挑戰?想到可以讓快生鏽的腿動起來,就會說:「我一定要去,死都要去。」但想到前兩天的工作會造成的身體負擔,又會打回票,想說:「下次再去吧!」最後想到:「是不是可以隔天再去?我只要跟他們會到面就可以了阿?」就這樣三種錯綜複雜的想法在腦子裡攪阿!攪阿!一會兒興致勃勃說要去,一會兒怕太累打回票,時間就在還來不及下定論之時逐漸逼近。終於到了二月二十九日,終於演出完畢了,心裡還是沒有一個明確的答案。我的身體早就在這一天的開始有些疲憊了,演過收拾後身體更疲憊。最後我還是去火車站問班次,得知有一班不到目的地但離目的地不遠的車次。在很趕的情況下,坐上這一班火車前往苗栗,再轉計程車到北港,雖然這樣可能蠻耗錢,但打鐵要趁熱,因此我到了白沙屯,找到我的朋友後快速進入補眠階段,以免體力不支。

 

  時間一分一秒過去,其實根本沒睡著。連身邊有幾個人經過,說的言語都聽得非常清楚,終於那個時鐘在凌晨一點敲醒了半睡半醒的我。慢慢回神,收拾行李帶著半糊的眼神出發,走到白沙屯廟口,滿目的人群圍在四周。大家都在等媽祖出來的霎那。突然媽祖從廟裡衝出來向前跑,霎那間所有人心中的起跑槍響起。大家一轟轟的跟的媽祖轎衝,由於廟在巷子裏所以蠻擠的,前面半個小時都很難行進,就像台北看完跨年煙火一樣。終於走到大馬路上,只是人潮還是一樣多。就連我的同伴也都逐步散開,不過先前我就拉好兩個人當共步夥伴,所以我們就形影不離的走在一起。走著走著,看到認識的人就拉著一起走,走一走又走散,不是他太慢就是你太快。因為我們三人小團體出發前確實查了些資料,聽說跟在轎旁走,速度拉起來以後步伐會變得很快很輕鬆,確實也是如此。只是媽祖前半段一直在找路,有時衝向旁邊小巷、有時衝到逆向車道,雖然看起來很危險,但是這在大型宗教活動中卻是習以為常的。有經驗的人等媽祖衝到旁邊以後都不為所動,站在原地休息,或許他們已經知道主要行進的路線都不變,所以也不會像我們這種不知道跟著衝的人一樣,走一堆冤枉路。一路上有很多新鮮的事不斷刺激我,前半段的路上到處都是煙火鞭炮,真是前所未有的多,數不清的煙火在眼前一直放,數不清的鞭炮在前方不停爆炸。鞭炮放的位子在路邊,但或許是人太多,不知不覺會走到路邊,一腳踩下去,居然踩到已點燃的鞭炮,趕快腳步一步變三步的向前跑,雖然蠻恐怖卻也蠻刺激的。媽祖說走哪似乎所有人都沒法說不,警察也沒辦法到前面攔住。我想他們也無能為力吧,如果一攔可能會有千千萬萬的信徒踏過他們。走著走著我看到旁邊就是快速道路,突然有一台廣播車說把它堵起來,因為媽祖又在那邊”允杯”了,所有人所有車子都堵在那,雙手舉高不讓媽祖過,但我只能說那是沒用的,媽祖說走哪就走哪誰也改不了。一下子媽祖就衝上快速道路,哇!這一生中或許不會有機會走上快速道路吧。但我就在這一個晚上走上去了。之後聊天當中得知,當時所有人舉手,不是要攔住媽祖,而是要遮住媽祖不要看到喪事。因為當時旁邊有人正舉行喪事。走上快速道路對我來說,真是不可置信的一件事,或許有很多人和我一樣,也在這霎那中,做了一輩子不會去嘗試的事。這些信徒走路、騎著摩托車、單車上快速道路,打破心中覺得不可能的規範。此時心中冒出另一個想法,我們有沒有機會走上高速公路?如果走上去的話應該更難以置信,高速公路將可以更快到北港!

 

  走了好長一段路終於過了通霄到了苑裡,之前聽人説先前在北港大部分都是當地信徒,他們是在送媽祖,過了通霄過後人就會逐步減少。

 

  苑裡過後逐漸逼近凌晨六點,此時天空開始變色,從黑黑的一片慢慢變成金黃色,然後太陽從黑暗中破雲而出,變成藍天中的紅球,此時破曉完成,從黑夜變成白天。路旁的稻田從深黑色變成帶有金色的摺色田,其實我蠻喜歡清晨的感覺,或許是一天的開始,或許是早晨的空氣非常清晰,光線非常敏銳。我的精神似乎不受影響,依然精神飽滿。或許只是精神很好,身體已負擔過多。走著走著,真是每況愈下,步伐從跨出約一公尺,變成半公尺半公尺,越跨越小。從原本形影不離的共步夥伴,到後面自己一人行走,雖然覺得先前速度跟太快,步伐被拉著走,最後才決定速度配慢,脫離夥伴,但後面的速度其實還是太快。在這種長公里數又不休息的行走中,配速是很重要的,因為人沒有無限的體力和耐力可以用,就算你有再多的意志力,身體也是有極限的。後面我已經越走離媽祖轎越遠,看著前方天空散發的煙火,已經落單很遠了,雖然看到支援車從旁邊經過了數次,但心中卻沒有上去的想法,堅持要用腳走。其實後面還是有很多人在跟著走,其餘更後面的人就不知道在哪兒了?或許已經堅持不住上車了,或許是自尊的問題,我不太願意坐車,我比較想走完全程。

 

  終於遠方的路標牌指引出大甲,心中想著終於到了大甲,因為之前有走完全程的朋友跟我說:預計中午會在大甲的某宮休息,我就憑著這一句話更堅持自己不坐車的想法。因為再走一段路就可以休息了,到時後體力和身體機能都會再次補充,更有辦法走完全程。這想法出來之後身體已經很疲憊了。尤其是走到中港大橋的頭,真的是需要靠意志力來衝擊身體,眼前看到的是數十公里的大橋,從橋頭走到橋尾以這種狀況來說可能要走上數小時。這時看到一對年長的夫婦超越我,雖然沒有想要超越他們,但看著眼前極長的盡頭,我決定跟著他們走。不顧腳步已經遲緩,瞬間提升自己的肌耐力與意志力,卯足力量跟著走。真不曉得他們是先前有坐車還是怎樣?速度飛快就跟剛開始走一樣,但不管如何在過橋以前我是跟定他們了!花了十倍以上的體力,我終於跟著他們走過大橋。此時心中一直吶喊:中午休息的地方在哪裡?快到了嗎?還要多久?雖然再次看到一些支援車但卻還是堅持不坐,有幾個在我眼前上支援車的人,招手叫我去坐,我卻搖搖手說不。其實身體已經疲憊不堪,腳也逐漸鐵掉,但卻堅持著「不遠,就在前面」的想法繼續走。

 

  就在續走到台中港時終於被這路程擊潰了。我找了一台支援車坐了上去,一坐上去覺得自己被硬生生的擊敗,一敗塗地倒地不起,完全沒有坐一小段然後繼續走的想法,看著一些在路旁走的人,有一種沒臉看他們的感覺,或許坐車不是甚麼可恥的事情,也許我的同伴早就上車了,但對於我這個愛爬山的人來說,坐車就好像爬山中途體力不支、撤退一樣。我覺得我沒法跟這些繼續在走的人相比,我實在是太懦弱了。但體力不支是不爭的事實,坐在車上我持續休息,車上的人年紀大到都可以做我阿公、阿嬤,他們怎沿路拿路上發的邊吃邊叫我吃,我總是吃不下想休息,可能是體力透支的太嚴重了。他們是一群參加過多次行腳的虔誠信徒,媽祖會走哪都有心理準備,可能因為年紀稍長,所以想法也不會像年青人一樣好勇,累了就休息。他們也有走但可能走不久就休息坐車,看到路旁走走休息的人他們說:「不行就坐車阿!不要勉強的走。」跟著走或許是虔誠,但已經不行走,還硬是堅持要走,媽祖也不會喜歡的。這言語點醒我,不是硬說要走完全程,才代表甚麼,而是說你有參予過這個過程而且堅持過,就好了。

 

  看著許多人在車旁賣力行走,心中早已無力較勁。還是養足體力再說吧!中午我們在鹿港某宮休息。雖然這不是我心中牽唸的休息地,但總算是到了。休息一個半小時後,媽祖轎又再次前進,繼續往北港走,而我則繼續坐車,腳已經鐵到一種極限,根本無法走路。坐著坐著沿路睡覺休息,天色也漸漸晚了,此時車上的阿嬤們不斷問我你的夥伴呢?想幫我找到我的支援車和伙伴,因為他們深怕我晚上找不到夥伴,而他們要在哪休息也都還沒決定,怕我跟我的夥伴離太遠。但我也不好意思說我不知道他們在哪,其實我們已經算是各自拼命了。他們不斷勸我打個電話問問他們在哪?天色真的暗的很快,她們問的次數開始頻繁。我不是個被問過十遍以上還會好好回答的人,心裡真的被問到很煩了,但我知道他們是為我著想,所以就耐著不悅好好回答。終於晚上六點多再次看到媽祖轎,此時我就請他們讓我下車,繼續用走的。雖然他們還在擔心我找不到夥伴,但我還是決定用走的,下車時,腳沒有那麼寸步難行,或許是整個腳又再次繃緊準備走路了。走著走著突然看到我的一群同伴坐在一台貨車上,我二話不說也坐上貨車。後面一路坐車,還超過媽祖轎旁邊數次,到轎的前面去休息。晚上七點我們在一間很大的天宮吃東西,有信眾做了幾台貨車的東西要給全部人吃,我和同伴就去那裡補給一下胃。然後繼續坐車。凌晨二、三點的時候,已經完全不知道自己坐到哪兒了,只想移個位子睡得更舒服些,完全不想再下車走路了。最後我是直接坐貨車到北港,在北港休息等媽祖轎進入。

 

  早晨八點多起床看看外面,媽祖還沒進來北港,在外面走走逛逛緩一下腳。九點、十點時,一位在車上認識的大哥,帶著我去迎接媽祖,這位大哥真的是蠻好相處的。一路上跟我說一些白沙屯、大甲等媽祖行進的事情,這位大哥似乎蠻喜歡我的,一路上跟我講了蠻多事情,連遇到我的同伴之後,他們也這樣說,但遇到同伴後大哥也走散了。媽祖進來以後,就有北港的迎接隊伍出動,陣容相當龐大,我們也順勢走到北港天后宮。一路上沒有像白沙屯人那麼擁擠,但是也是蠻多的。走到了北港天后宮後,媽祖也差不多到了,一群信眾就為在門口等待媽祖進去的一刻,人擠的非常厲害。最後有人拿著大聲公說:借過!借過!大家讓條路出來,不然媽祖進不來。終於媽祖到了,進宮的那個時刻,所有人都很興奮,媽祖進宮前還會在門口前後跑個三次,大家也跟著這個步伐而喊起:嘿~嘿~嘿~!當媽祖進去了以後,變得更擠了。十分鐘以後人才疏散一些。我們的同伴也慢慢的聚起來,然後我們就去吃個合菜,聊聊天後告別。這個媽祖繞行北港的活動共八天,兩天走到北港,再走回白沙屯。我們有同伴打算這次要走八天,所以我跟她在此告別,坐一點四十分的統聯回台北,結束這次的走路之旅。

 

  白沙屯行進至北港是一個進香行程。對我來說它是一個宗教活動,參加這種活動在基督教徒的眼裡算是對神不敬。不過我認為走路是不分宗教,只要知道你是以甚麼目的、甚麼心態在走,不管你是甚麼宗教,都是一個走路的旅程。

 

  在接觸這個台灣民俗活動之後,我感受到所有人共同做一件事,真是非常好玩的。這個經驗難能可貴,行進的過程中,也發生很多刺激我的新事情,非常新鮮。更讓我再一次察覺跨出去的步伐,尋找走路的目的。下一次我一定還回再來挑戰一次白沙屯走到北港,看是不是能走完全程。


一對一數學診斷與教學的基本技巧(六之五)/唐宗浩
alearn 在天空部落發表於13:14:44 | 教與學

#主客易位法

『人都願意改變,只是不喜歡被改變』--西諺

前面提到了倒溯、前推、具體經驗和繞道法。
本節介紹一種和倒溯、前推相關,但是更強力的方法。這也是我最喜歡的方法。

在複習一整學期、一整年甚至三年的範圍時,小孩往往會不知從何下手。
很多人寫了一大堆題目,把自己弄得頭昏眼花,效果還是很有限,為什麼呢?

其實,在寫題目之前,有更基本的工夫,就是把觀念整理清楚。
這就像是蓋房子要先打地基。地基不穩,再怎麼蓋,很快也就垮壞了。

要整理觀念的話,在每個章節寫一兩題,不會的地方查課本,徹底弄懂,也就夠了。在整理觀念的階段,過度操練絕對有害無益。大量練習只有在觀念清楚之後才有好處。

如果小孩的表達能力還不錯,下面的複習方法相當有益:

方法就是反客為主,不是我去教他,而是他來教我。我常說『把我當成不會的人』。

比方說,有一次幫朋友複習國中三年的範圍,我就請他帶著課本,把我當成不會的人來教。
過程中,每當我覺得邏輯怪怪的、聽不懂,就會提出來問。如果他說不出個所以然,代表這部份觀念不清,是個漏洞。
一發現漏洞所在,我就針對它來講解。講解完了,再回頭扮演『學生』的角色,聽他講述。

其實,只要小孩能清楚解釋的概念,他自己一定就是會的。
反之,無法解釋的部份,一定就是知識系統的漏洞。

這就像要清一條河的水道,就讓水自己去流,遇到卡住的地方再去清理即可。
當小孩發現自己解釋不出來時,也會比較虛心向學、認真聽講。
不然,無論幫他複習什麼,他可能都會說:我學過了!我已經會了!

這個清水道的過程有幾個優點:

第一,它很有效率。
第二,雙方的角色完全是合作的,而不是對立的。
第三,小孩在過程中會培養自己組織知識、檢視知識和表達的能力。
第四,大人就算自己完全不懂,還是可以用這種方法,幫小孩複習,自己也順便學一點數學。

最後,當小孩解釋不出來時,千萬不要罵他笨。
這個方法是在找他需要補強之處,所以有很多解釋不出來的地方是應該的。
大人應該慶幸:我終於瞭解,他在這麼基礎的地方也需要幫忙。

這種方法我十分喜歡。
不只作為教學技巧,它也是我常用的學習方法。
向別人講解的過程中,可以溫故知新。往往學到最多的,是教的人。
讓小孩扮演『教』的角色,徹底複習觀念的技巧,我稱它為『主客易位法』。

 

編按:宗浩老師的〈一對一數學診斷與教學的基本技巧〉分六期刊出,目前為第五篇,前篇請連結上期電子報閱讀。智邦過期電子報請按此


自主學習展示.嘉年華會有感/李雅卿
alearn 在天空部落發表於13:13:50 | 心得分享
剛剛離開會員大會的嘉年華會會場,雨停了,風涼涼,心裡很溫暖~~
  嘉年華會的主意是不同的人在不同的時刻提出來的,最後由理監事會定案,今年是第一次。有機會看著不同家庭、不同年齡層的人,自發性的提供他們的學習心得,分享過程中的困難、憂疑、感動、和堅持後的甘甜收獲,那種盈滿隨喜的歡樂,真是說也說不清楚。
  大會由直笛團的演出暖場。
  直笛團是促進會的社團之一,每週四上午,它為我的生活開出一扇音樂和人際的窗景。我們在不同的笛聲中,尋找自己的位置,放開自己融入群體,享受身體和樂器間和諧出聲的互動,並在練習的間斷片刻,分享生活中大大小小的事件。這種互相鼓勵、彼此支持,共同學習的快樂,確實滋潤著我的心。
  世青帶來的少女樂團「大心心」,青春活力直接點燃每個人的內在熱情。聽著他們唱著世青創作的歌曲「噢!夏天」時,我忍不住想到過去實驗計畫那八年,一個個可愛的青少年,他們在劇場、在樂團、在教室、在球場、在一對一的聊天中,在不知不覺的歲月裡成長…。現在,他們以成熟的樣貌,回到會裡,扶持自主學習。台上有世青,台下有致緯、子郁、宗浩…,這種生命流轉的接續,真是美好!
  接著是亮緯用照片分享他三年來在自行車上的鍛鍊。看著照片中的他,從童稚到成熟,從矇懂到自信,聽著他和純純媽媽述說這個過程的點點滴滴,我忽然替那些沒來的人可惜起來。我多麼想留住這一段,重新播給那些剛加入自學的家庭,讓他們知道,自學就是這樣。
  鬷屔用投影、實物、孩子的剪貼作業,分享她所參與的指南國小五年甲班,如何群策群力的完成四十五人、規模巨大的五天四夜、親師生花東腳踏車之旅的歷程。聽她娓娓述說著整個活動的起議、爭執、懷疑、困難、心情的起伏和最後豐沛的收獲,讓全部的人再一次體驗合作完成一件「不可能的任務」時,那種成就和歡喜。
  我一直認為「獨立成就」和「合作完成」,都是人生美事。我很慶幸自己的一生中,有機會一次一次享受這樣的歡喜,包括這次的活動。
  曉鶯和螃蟹手鼓帶來的非洲鼓表演,讓全場動了起了。朱爸爸的即興舞蹈、大夥兒的歡呼、歌唱確實把陽光帶到會場。我一邊拍手,一邊跳舞,一邊想:生活其實可以非常歡喜,只要你允許自己高興,不是嗎?
  從復活節慶典中匆匆趕來的怡光家庭,分享每個月第二個星期二的自學家庭聚會情況,他們從一、兩個家庭開始,到現在十多個孩子,每個月聚會一次。孩子們一起玩,大人們交換聊天,家庭一起參觀、一起操作,彼此沒有義務,純然歡喜。這很像我們週二的打拳,沒有義務,純然歡喜。
  最後是真宇的吉他彈唱。很多人是第一次領略到她嗓音的圓厚和吉它的功力。我因為和她有些日常的接觸,因此除了美好的歌聲、樂曲外,反而比較享受她在舞台的大方和成長的美麗。真宇和世青一樣,都在會場上發表了自己創作的歌曲「不要忽略」,雖然她說這首歌是提醒自己,在不順心的時候,不要忽略生活中還有很多美好的人事物,我想她也不經意的提醒了我們,不要忽略在生活中創造一些美好的回憶。
  這次會員大會,對我來說,真是一次美麗的回憶。我發現,當參與的人都高高興興的準備、分享,一切就都變得那麼流暢、平衡!
  讓這次沒來的人開始後悔吧!
  明年,我們還會維持這樣的分享形態,請大家開始準備,讓我們一年一次的會員大會,成為每個家庭歡喜分享,也學習如何展示的嘉年華會吧!


一對一數學診斷與教學的基本技巧(六之三)/唐宗浩
alearn 在天空部落發表於13:11:42 | 教與學

#具體經驗

『太上,不知有之;其次,親之譽之。』--《道德經》

前兩節談到了倒溯法和前推法。
把它們交互運用,可以在知識體系中織起密實的網子,搭起堅固的鷹架,補舊的破洞、做新的拓展。

不過,知識環節只是數學的骨架,而不是血肉。

有時候會遇到這樣的情況:

『7乘以6是多少?』『七六...七六...不知道。』
『那你知道6乘以7是多少嗎?』『六七...六七...42。』
『7乘以6和6乘以7會一樣嗎?』『會。』
『為什麼?』『7個6和6個7一樣啊。』

在知識上,這個小孩懂得乘法的意義和交換性,但是這個知識並沒有內化、變成一種自然而然的感覺。
所以當他背不出『七六』的時候,不會想到用『六七』來替代。

或者像是:

『半斤是8兩,那麼一兩是幾斤呢?』『8斤。』
『8斤?8斤比半斤多還是少?』『多。』
『那怎麼會是8斤呢?再想想。』『嗯...要先除2再乘8嗎?』

這是量感的問題。
如果幫他把圖畫出來,他多半會算。但是他對單位之間的關係沒有感覺。

數學能力的血肉,就是這種感覺。對數字的感覺,長度、重量、時間、面積的感覺,均分的經驗,機率感、策略運用等等。

在國中小和學齡前,這種感覺主要是靠遊戲和具體活動來建立的。

任何遊戲,只要用到策略,就和數學經驗有關。
不只是樸克牌、圍棋、魔法牌,連紅綠燈、大風吹、桌球、籃球,都是豐富的經驗來源。
單車、爬竿、捉蟲,用身體得到的經驗,也是相當寶貴的。

數學並不是加、減、乘、除、算一算答案,那叫算術;也不是公理、定義、定理,那叫公理系統。
數學是在尋找變動的世界背後,不變的秩序,並且把它用符號表現出來,讓大家都能理解、運用。
因此,很多看起來不是數學的東西,都能提供富豐的數學經驗。

以廚藝為例。

看食譜、考慮人數,是比例的經驗;不同大小的匙、量杯一杯和一格的區別,是單位的經驗;切菜、切蛋糕,是分數的經驗;火候的調控,是時間與函數的經驗。

在測量麵粉重量的時候、在目測茸絲長度的時候,就經驗到了數學;在設定烤箱溫度的時候、在把蛋汁打均的時候,就經驗到了數學。

每一種工藝,每一樣文明的產物,都有它的秩序、策略和條理。
小孩在從事它們的時候,並不會說『啊!這是分數』、『啊!這是比例』、『酷!座標變換!』。但是,無論是廚藝、武術、縫紉、繪畫、魔術,這些動手又動腦的經驗,都會使小孩的數學感變得豐富。

豐富的數學感,有助於學習數學、有助於內化數學、有助於把數學應用到生活。
如此,小孩才能用其所學,不會一直追問:數學有什麼用?

 

編按:宗浩老師的〈一對一數學診斷與教學的基本技巧〉分六期刊出,目前為第三篇,第一篇請連結上期電子報閱讀。智邦過期電子報請按此


一對一數學診斷與教學的基本技巧(三之一)/唐宗浩
alearn 在天空部落發表於12:50:26 | 教與學
◎寫在前面
這個系列主題是:如何作數學科的一對一學習診斷與教學。
設定的對象主要是家長。一對一、超小班教學的老師亦可參考。
適用的學生從學習挫折到資優生皆可。但是如有閱讀障礙、符號障礙等學習障礙,仍需佐以相關的特教專業。
特性是:不需要專業教學經驗,也不需要專業的數學知識,即可開始實踐。
本文提到的技巧,背後的理論並不是新的;這些技巧也不是新的。但是它們確實簡明有效,故在此分享。
每期刊出一篇,是為了讓有心的讀者有時間去實踐。如果一次介紹太多方法,可能會像教科書一樣,讓人望之生畏,而不願實踐。

◎倒溯法
『君子務本,本立而道生』--《論語》
在教小孩數學的時候,大家都有過這種經驗:講了好幾遍,小孩還是不會。
這種情況小孩挫折,大人也挫折。大人這時很容易上情緒,或許會罵小孩笨。
我也會遇到挫折,但是不會罵小孩笨。
罵小孩笨一點好處都沒有,還不如去想:怎麼讓他學會?
為什麼他肯努力卻學不會?為什麼這麼簡單的題目他就是搞不懂?
十之八九,答案會是:先備知識有漏洞。
數學的知識像一張網子,又像一座多尖頂的塔。有學者用鷹架來比喻,很貼切。
每一個知識的環節,都有它的幾個先備知識,而那些先備知識,又有它們各自的先備知識...
先備知識不牢,要更上一層樓自然就會困難重重。
比方說:要學多位數的乘法(直式),需要哪些先備知識呢?
首先,他要懂什麼是乘法、什麼是十進位系統,還要能掌握乘法的分配性(像16乘以5,會等於10乘以5再加上6乘以5),還有乘10、乘100的特殊結果,另外也要會九九乘法表,才能作出完整正確的計算。
如果學生學習直式乘法有困難,我會問他先備知識的問題,像是『12乘以100 =?』、『13乘以5 =?』或『你會背九九乘法表嗎?』,逐一去問,來瞭解是哪個環節有漏洞。
發現漏洞後,就去教漏洞處的知識。
如果經過一些引導,小孩就能懂,那就可以順利把漏洞補上。
如果還是不懂,那就重覆前一個步驟,再往回追溯更基礎的先備知識,一直追溯到數數兒都不為過。
這個過程同時是診斷也是教學,相當重要。我稱它為『倒溯法』。


學習其實是一種謙卑 大冠鷲&藍鵲
alearn 在天空部落發表於12:49:20 | 教與學
最近接觸了幾件和學習有關的事情,衝擊很大,挫折不少,也促使我反思什麼是學習?學習原本是人類面對新事物,以致於希望能夠更深入了解、認識的過程,但卻莫名加入了許多其他附加條件,以致於學習成了一場競爭,一種手段,甚至是一種壓迫。學習不再那麼單純,那麼快樂,反而為了學習必須要使用某些策略、某些心機,學習成了戰場,人與人鉤心鬥角的殺戮場域,太老實只會悶著頭努力的學生學不到東西,只有吃虧受傷,所謂長袖善舞的學生反而不費吹灰之力直登雲梯,學習究竟是什麼?是社交?是手腕?還是學習?

  記得有數次和媽媽談到職場競爭時,起初唸書不多的媽媽提及能讀書做辦公桌就很幸福了,不像我們沒念什麼書的只能做勞力,當時年輕氣盛的我不耐煩回答:妳不懂啦!我猶記得媽媽的反應是錯愕的,那錯愕中帶著自卑與生氣,我想她誤會我的意思了,她一直對於沒念什麼書感到遺憾,或者有點自卑吧,所以對於我的反應理所當然感到受傷,我猜她大概想成我認為她沒讀書所以不懂。前幾日,和媽媽談起自己的狀況時,她一直猜為什麼會有憂鬱症呢?我說家庭、學業、工作、婚姻等等都有影響,不是那麼單一的因素造成,其中我再度提到職場,沒想到媽媽這回的反應不一樣了,她說以前她們工作時也會有人鉤心鬥角、討好上司、說人壞話等,我說讀過書的人玩的花招可不止於此,可能更嚴重呢,不像妳們比較單純善良,媽媽笑說對喔!讀過書的人愈會動頭腦,好就很好,壞就很壞。

  我不是批評讀書人,而是反思所謂讀書、學習,究竟教會人們什麼?當學生為了學習必須討好老師,必須扭曲自己時,究竟學到了什麼?當學生學習是為了以後在主流社會上有一席之地,而那所謂一席之地就是要在上位時,又學到了什麼?會不會學到的只是權力、慾望、掌控、壓迫與自私?記得在寫論文時,我曾提及學術是要服務於田野,而不是從田野中掠奪資源後,又鄙視田野常民,學術不該是一群知識份子躲在象牙塔中玩的遊戲,學術要懂得尊重、懂得謙卑,因為沒有田野就沒有學術。

  我們常聽見一些自詡為專家的人侃侃而談,一副自己就是天就是地,說了算,可事實真是如此嗎?有哪個專家敢百分百確定自己所學所知的就是盡頭?就是鐵律?

  在我的學習過程中,曾遇到幾位讓我很敬佩的老師,一位在台灣物理學界非常資深且重量級的教授陳國鎮教授,當他研究物理數十年後發現世界上有太多物理無法解釋的東西,他開始擴大胸懷探索更未知的領域,他願意敞開、接納與傾聽,並不以自己多年的學術成就畫地自限,若是遇到非他領域內的東西,他會謙虛的說明自己不擅長此項,可以請教該領域內的老師。在他身上我看見了學習是一種謙卑,一種胸懷。

  還有一位在人類學界也是重量級的教授翁玲玲教授,她頂著英國牛津大學人類學博士的頭銜,卻在第一堂課就告訴學生盡量發問,最好是可以推翻她,把她問倒,這樣才有教學相長的意義。她的風範讓我甚為懾服,我在她身上除了看見自信外,更看見了一種胸襟和氣度,這是學習。

  另外一位是學心理諮商的香君老師,她上課的特色就是能夠容納田野的聲音,甚至邀請田野的例子或人們來課堂上分享經驗,她也認真聆聽學習。在她身上我看見田野的珍貴與被尊重,這是學習。

  有時候我在想之所以經歷學習後會自以為是的人,是不是因為生命的底蘊其實是自卑?或者是被壓迫?或者太需要其他聲音的肯定?然而,透過這樣的學習循環,卻又讓自己再度成為壓迫他人的人,這樣的學習意義是什麼?

  學習究竟教會了人們什麼?

  宗教領袖達賴喇嘛的位置可說是世界級的重量級,但他仍會主動參與其他宗教的活動,甚至謙虛的發問、了解,他曾與許多科學家、哲學家、心理學家對話,並謙虛的向這些所謂的專家們學習請教,學習是什麼?

  我想,所謂學習,不是一種手段,不是一種謀略,更不是一種身分表徵,而是一種謙卑。

  因為,學習讓我們看見世界有多大,自己有多麼渺小......


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