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September 2, 2009
這是余教授的幾場高中的研講稿,講題是如何學好數學,內容有談到學數學的態度、習慣、大考題目的形成,內容豐富,都是很關鍵的觀念,希望能夠對想學好數學的同學有些幫助^^


如何學好數學 余文卿教授於南二中、家齊女中、嘉中演講搞
本文作者任教於國立中正大學應用數學研究所


很高興有這機會代表中正大學來跟大家談論數學, 從小學、國中到高中, 數學是離開不了的基本科目, 上了大學理工科, 更離開不了數學, 對一般學生, 數學是一非常頭痛的學科, 既然天天要與數學為伍, 何不下一番工夫把數學學好? 這也是我今天要講的主題: 如何學好數學, 現就學習數學的態度, 高中數學內容與數學試題三方面來談論這主題。


一. 學習數學的基本態度


A. 算計與計算
每逢數學的第一堂課, 我總要提醒學生要把自己的聰明才智用於計算, 而不要用於算計。這裡的計算當然是數學的計算, 數學本身, 就是一連串的推理和計算, 而算計指的是算計別人, 如考試舞弊, 是一種算計老師的行為。用腦力去算計別人, 結果只會帶來報復行動, 而用腦力去計算數學, 可使數學更好。唸數學不像唸國文或英文, 可用背頌的方式。唸數學一定要動筆去計算。看別人式子時, 寫下每一式子, 用頭腦去思考每一推理的過程, 必要時記下其理由, 使別人的東西變成自己的筆記, 經多次演練, 若能貫通, 才算唸通。特別注意的是: 唸數學時, 一定要備有草稿紙供計算演練。備筆記本記下自己的心得,不能光看, 光看的效果一定是零。


B. 動口與動手
有人打架時, 勸架的一句話常是君子動口不動手, 唸數學就不能有這君子風度, 既要動口且要動手。動口把式子唸出來, 以增加腦海印象, 更動手把式子寫下來, 運用腦力去推演式子, 最後把推演的心得寫下來。說到動腦方面, 數學的推演其實就是一種不折不扣的頭腦體操。我個人時常為了想數學, 而時常澈夜未眠。大家沒這種必要, 但每天花幾個小時做做數學題目, 其實是最好的頭腦運動。


C. 為什麼與如何做
演練數學, 最常問的問題是為什麼與如何下手, 這也是英文中的Why and How。看別人的式子推演, 能體會其原因何在, 而自己在推演式子時, 也能知道如何下手。以有名的餘式定理為例:餘式定理: 多項式f(x) 以x−a 除, 餘式是f(a)。要證明這定理, 首先聯想到多項式f(x)只是單項式乘上常數的組合, 而這定理對單項式顯然成立, 因xm− am 可被x − a 整除, 故一般多次式f(x), f(x) − f(a) 也可被x − a 整除, 進一步問為什麼只有多項式成立? 為什麼其他函數不可以?


D . 數學與天才
很多同學對數學所持的態度是, 我不喜歡數學或我不是數學天才。有些數學家具有天生的數學才能, 可是也有很多數學家在年輕的時候不喜歡數學的。數學能力的培養後天的比先天的更重要, 尤其是大學程度以上的數學, 一定要有系統的長期訓練, 方能出人頭地。


二. 數學試題
學好數學, 短期的效用是應付月考或期考, 較長遠的打算是應付大專聯考, 而更長遠的打算或是想成為數學家, 無論如何必需面對一些陌生的題目, 現我們就談大專聯考的試題。


聯考的試題出自大學教授, 先由兩位教授分別出題, 再由一組出題人員組合成一份
考題, 題目中除少數難題外, 絕大部份是一般性題目, 而免不了有一兩個應用題目, 這類題目是一般高中生最深惡痛絕的, 沒耐心去看完題目, 即使看完題目也不知如何下手, 然而這類題目卻是教授的最愛, 整人為快樂之本,應用題目出自線性規劃、三角測量、幾何、排列組合與機率或是理科的微積分應用。


應用問題其實是由一般問題演變而來,能列出相關的式子或圖形, 問題就解決大半,這其實相當於閱讀測驗, 只是認清了題目後要有辦法解決。


大部份的聯考題目是想出來的, 只有少數題目(出自不負責的教授) 是抄出來的, 很多題目是出自定理的應用, 如餘式定理、勘根定理、正弦定理與餘弦定理。


另一方面, 聯考的題目一定是無法代入公式而得出答案的。考試的重點是想法而非公式, 又考試中多多少少有一些基本分數, 絕不輕言放棄而繳白卷, 尤其是社會組數學, 稍做準備, 得個60 分並不難。


三. 結論
學數學是要學會一些主要的定理做為運用的工具, 這也是你考試的籌碼, 對這些定理一定要有充分的理解, 透過例題與習題的演練, 促使對定理做進一步的認識; 不要一昧光
做習題, 聯考的試題並非出自題庫, 而是教授的頭腦想出來的。不要刻意去注意一些特殊的難題, 這類題目不會出現在試題中。另外數學能力的培養是長時間性, 不要考試到了才做準備。

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留言 (7筆)
7.
無意中逛到李老師的網站

想請教從小應給孩子(現為4歲)何種教材?

如 書籍.(資優.康軒.信誼.~~)或是像閣林:數學

比一比. 魔法數學故事屋. 數學小博士. 思達數學 等

前者是幼稚園數學教材..後者是數學書本

版本很多實在無法選擇~想未小孩打好基礎. 不害怕數學

想請問老師建議 及 教材 哪家較合適??

PS:如不方便說明版本可用悄悄話告知.感恩!!


 
板主回覆:
nini媽:
有效學習的基礎應該是與生活連結而產生的興趣與習慣,而數學需要的是培養全面深入思考的習慣,平常生活中即有很多素材,多陪孩子下棋、一起玩撲克牌、一起購物、一起看柯南猜結局、一起讀故事書、一起整理抽屜房間...都是很棒的訓練與學習喔!讓孩子養成想的習慣,不要急著給答案,多給孩子鼓勵。

先跑的孩子不一定領先,學的早不如學的好,若方式不當而扼殺孩子的學習興趣,那對於孩子的未來即是很大很大的損失。4歲的孩子,用心陪他玩吧!個人淺見供您參考。
李老師
nini媽媽 於 Feb 8, 2011 留言 |
6.
原來如此!經過老師這麼一說,對於該如何選擇適合自己的學習教材,我總
算是心裏有數了。唉!要是當年讀小學的時候,就能遇到像老師這樣的人,
我也不致於因為有問題而不敢問,導致心生畏懼的想法了。

謝謝老師,我今晚就按照老師說的去選擇教材回來,好好開始重新打好基
礎。這是應驗了古人說的:欲知山前路,須問過來人。感謝老師撥沉耐心的
解答我的問題,謝謝!
 
板主回覆:
玄直:
往者已矣,來者可追。能夠立即勇敢面對自己不足的地方去行動,相信很快你就能體會到成就感的甜美。當然,書畢盡是書,若有疑問也別忘了身邊的老師唷!
加油!祝福你學習順利
李老師
李玄直 於 May 10, 2010 留言 |
5.
對了,老師,想請問一下,面對市面上那麼多的自修,我該選擇那一個版
本的比較好呢?昨天去書店,對著琳瑯滿目的自修發呆,就是不知道該選哪
一本才好,想請老師給我一點意見,謝謝,祝老師有個愉快的周末。
 
板主回覆:
玄直:
很高興你做到了〝馬上行動〞,你一定會成功的。自修的選擇其實很簡單,只要掌握幾個原則,就可以找到適合自己的書。
目前教材各版本雖有差異,但內容總是萬變不離其宗,所以選哪個版本內容差異都不是很大,因此關鍵不在於內容,而在你喜歡、便於閱讀與能解決問題。
那該如何選擇呢?
1.你可以選擇你喜歡的編排方式,包含字體大小都有影響,像某出版社的書字體小,又編排地密密麻麻,內容再完整,不容易閱讀就是大缺點。
2.找一個你不懂的單元試讀看看,看他的定義說明是否清楚,定義的例題解釋與解題步驟是否清楚。清楚的定義就是這個內容與題目沒有疑問。
3.在單元後面試題的部份,題目多少是其次,關鍵在解答。詳解(有解題步驟或試題解析)比例高不高,不要全部只有給答案,有解題的步驟且越詳細的越好。
4.若家裡附近有二手書店,建議可以到二手書店去挑選近三年的書皆可,經濟又環保唷!
若具備以上四個條件,那就是最適合自己的自修了。
加油!祝福你學習順利,若過程中有問題,李老師隨時歡迎你的問題。
李老師
李玄直 於 May 7, 2010 留言 |
4.
謝謝老師給我的意見,既然這樣,那我就老老實實的從小學高年級的開始
打好基礎,按照老師提供的方式來做練習,很幸慶讓我無意間發現老師您
的網站,現在想想,以前真是太不懂事了,只會覺得念書很煩,很無聊,
長大後雖然喜歡看書,但對數學始終是心存恐懼,結果繞了一大圈,我還
是必須回過頭來,把年少時就應該學好的知識學好,再次謝謝老師耐心詳
細的解答,往後我要是遇到問題,會再來請教老師的,謝謝老師。
 
板主回覆:
玄直:
老師很高興認識你,也要再一次鼓勵你,你的目標會很快實現的,因為你有一顆上進的心^^。
老師的每個新進的學生都會告訴他們,學數學要像獅子王(迪士尼卡通)一樣〝勇敢〞,勇敢去面對自己心中的恐懼,才有機會把著個陰暗的部份消除,通常越害怕的地方,越是最不清楚或是需要加強的地方。
建議你先按部就班完成這個階段,完成後再與老師分享,有問題隨時都可問我,我會盡力給你建議的。
玄直!希望有機會繼續聽到你分享學習過程的甘苦,祝福你,加油!
李老師
李玄直 於 May 3, 2010 留言 |
3.
謝謝李老師:我大致說明一下,之前有請一位數學老師幫我上過一次課,他
說我需要重新把小五小六的數學拿出來學習,我想也是,因為我連整數的
四則運算,只要數字大一點,我就不會算了,對於遞移率 交換率這些概
念,似乎也是有點似懂非懂的,不知道怎麼辦才好,代數就更是我的死穴
了。
 
板主回覆:
玄直:
數學環環相扣,無法速成,你不用著急,先把一個階段熟悉後再往下一個階段學習,這樣學習會比較順利,也比較不會有挫折感,先不要想同等學力考試要幾分,也先不要想代數,先把這些基本的單元搞清楚並熟練最重要。

由你的敘述,我也會建議你先由國小高年級的整數基本運算開始練習,要先熟悉運算的規則,例如:先乘除後加減、括號要先算、拆括號又由小到大拆..等。而練習的過程也要由簡單的數字開始,沒問題表示原則你會使用了,至於數字複雜的習題,真的只有靠自己花時間去練習熟悉,由練習建立計算的速度與敏感度。

整數沒問題之後,你再開始學習分數的四則運算與小數的四則運算,先各別學加減乘除,都熟悉才做混合運算。其中較複雜的是小數對小數的計算,要注意小數點的移動,商與餘數間的小數點差異。而分數的加減法需要通分(將兩個分母不同的分數化為同分母),這時候你需要學會求最小公倍數;而分數最終的答案需要化為最簡分數,需要會找兩數的最大公因數。

遞移律和交換律用於乘法與加法,他的目的只是方便並簡化計算:我不說理論了,我直接告訴你實際應用的結果:
◎在做整數加法的時候要像撿紅點(能湊成10的先抓出來加),所以看到尾數1就找9,2就找8,以此類推,先把這些特殊尾數的數先抓出來加,不用照順序加反而快。
例78+59+22=(78+22)+59=100+59=159,後者計算較快。
◎在做乘法時,能湊成10的倍數的也先拿出來乘,所以有尾數5要特別注意,因為5乘上偶數都會有10的倍數。例2*999*5=2*5*999=10*999=9990,後者的計算較快。

老師建議你盤點自己每天能夠練習的時間,為自己定一個規律卻不要太擁擠的學習計畫,設定參加考試的時間表,給自己一點壓力,會比較容易有學習動力。雖然是補校,有問題一定要請教老師,那會比你獨自摸索來的快速,而參考書籍建議使用自修而非講義,自修內容較詳細,但排版大多雜亂龐大,要有耐心思考。

加油!老師目前沒有遇過用心卻沒成果的學生,也要鼓勵你,沒有永遠的領先,只有趙時的落後,加油!有問題歡迎再提問囉!

李老師


李玄直 於 Apr 30, 2010 留言 |
2.
李老師你好:我在是個國中補校生,我的數學從小就非常的差,但我又很想
直接去考國中與高中的同等學歷考試,好早點基本學力補回來,請問在這
樣的情況下,我該怎麼做才能補救我的數學?(只要能達到及格的程度我就
滿意了,我並沒有想要成為一流的數學人才。)
 
板主回覆:
玄直:
李老師要先肯定你,因為你有一顆上進的心,老師也要先預祝你理想成真,只要你繼續努力與堅持,上大學都不會是難事。
如何補救數學,你給我的資訊只有數學非常差,我並沒辦法了解完整的情形,因此給你一點我個人的想法,希望能夠幫助你,若有其他疑問,也歡迎繼續提出來。
1.先檢視自己的基本運算能力是否有問題,當中包含正負整數、分數、小數的四則運算、乘方的運算規則、根號的運算與化簡,若有問題要補強熟練,這些是基本工具。
2.把國中數學分成代數與幾何兩大部分,代數主要由一元一次方程式、二元一次聯立方程式、一元二次方程式、函數、數列與級數來做準備。
3.幾何的部份主要準備三角形的性質、平行與四邊形、相似形、圓。
4.要去找考試的考古題,了解出題的方向與類型,這樣會比較有準備的方向。
5.有疑問一定要請教老師,不要怕被拒絕,很多題目有它的意涵,老師點你就會通。
6.養成每天算數學1小時的習慣,若時間不足,可以多做近年考古題,把題目弄懂。
7.要勇敢面對不懂的地方,多問多算,成績會很快進步,國中數學與過去大不相同,難度降低很多,你不用害怕。
8.努力與堅持,不要放棄自己,你的目標一定會很快達成的。
加油!李老師祝福你學習順利,有問題歡迎你再問囉。
李老師


李玄直 於 Apr 26, 2010 留言 |
1.
國小學數學的時候,唸得並不好。
因為那時老師只說要理解~~
我理解了,但爲何還是考不好?

直到有一天我突然頓悟了!!
除了理解外,還要背誦 & 熟練!!
先了解計算方式後,將公式 or 解題步驟背下來,之後就是不斷的做題目熟練了。
之後我喜歡上數學,也奠定了我以後走理工方面的路。

在數學老師面前說這些有點班門弄斧 ^^::
只是看過文章後有感而發,分享一下心得~~
 
板主回覆:
哈哈哈....KiKi兄真的是一語道破數學學習的關鍵與流程,
學數學還要經過考試,考試有時間的限制,因此速度非常重要,
若願意用心練習,達到反射的境界,相信成就感一定會越累積越大,
很感謝您的分享,相信一定對許多困惑的夥伴有幫助唷!^^
kiky0707 Sep 11, 2009 留言 |
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