編按：宗浩老師的〈一對一數學診斷與教學的基本技巧〉分六期刊出，目前為第二篇，第一篇請連結上期電子報閱讀。智邦過期電子報請按此

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　　記得有數次和媽媽談到職場競爭時，起初唸書不多的媽媽提及能讀書做辦公桌就很幸福了，不像我們沒念什麼書的只能做勞力，當時年輕氣盛的我不耐煩回答：妳不懂啦！我猶記得媽媽的反應是錯愕的，那錯愕中帶著自卑與生氣，我想她誤會我的意思了，她一直對於沒念什麼書感到遺憾，或者有點自卑吧，所以對於我的反應理所當然感到受傷，我猜她大概想成我認為她沒讀書所以不懂。前幾日，和媽媽談起自己的狀況時，她一直猜為什麼會有憂鬱症呢？我說家庭、學業、工作、婚姻等等都有影響，不是那麼單一的因素造成，其中我再度提到職場，沒想到媽媽這回的反應不一樣了，她說以前她們工作時也會有人鉤心鬥角、討好上司、說人壞話等，我說讀過書的人玩的花招可不止於此，可能更嚴重呢，不像妳們比較單純善良，媽媽笑說對喔！讀過書的人愈會動頭腦，好就很好，壞就很壞。

　　我不是批評讀書人，而是反思所謂讀書、學習，究竟教會人們什麼？當學生為了學習必須討好老師，必須扭曲自己時，究竟學到了什麼？當學生學習是為了以後在主流社會上有一席之地，而那所謂一席之地就是要在上位時，又學到了什麼？會不會學到的只是權力、慾望、掌控、壓迫與自私？記得在寫論文時，我曾提及學術是要服務於田野，而不是從田野中掠奪資源後，又鄙視田野常民，學術不該是一群知識份子躲在象牙塔中玩的遊戲，學術要懂得尊重、懂得謙卑，因為沒有田野就沒有學術。

　　我們常聽見一些自詡為專家的人侃侃而談，一副自己就是天就是地，說了算，可事實真是如此嗎？有哪個專家敢百分百確定自己所學所知的就是盡頭？就是鐵律？

　　在我的學習過程中，曾遇到幾位讓我很敬佩的老師，一位在台灣物理學界非常資深且重量級的教授陳國鎮教授，當他研究物理數十年後發現世界上有太多物理無法解釋的東西，他開始擴大胸懷探索更未知的領域，他願意敞開、接納與傾聽，並不以自己多年的學術成就畫地自限，若是遇到非他領域內的東西，他會謙虛的說明自己不擅長此項，可以請教該領域內的老師。在他身上我看見了學習是一種謙卑，一種胸懷。

　　還有一位在人類學界也是重量級的教授翁玲玲教授，她頂著英國牛津大學人類學博士的頭銜，卻在第一堂課就告訴學生盡量發問，最好是可以推翻她，把她問倒，這樣才有教學相長的意義。她的風範讓我甚為懾服，我在她身上除了看見自信外，更看見了一種胸襟和氣度，這是學習。

　　另外一位是學心理諮商的香君老師，她上課的特色就是能夠容納田野的聲音，甚至邀請田野的例子或人們來課堂上分享經驗，她也認真聆聽學習。在她身上我看見田野的珍貴與被尊重，這是學習。

　　有時候我在想之所以經歷學習後會自以為是的人，是不是因為生命的底蘊其實是自卑？或者是被壓迫？或者太需要其他聲音的肯定？然而，透過這樣的學習循環，卻又讓自己再度成為壓迫他人的人，這樣的學習意義是什麼？

　　學習究竟教會了人們什麼？

　　宗教領袖達賴喇嘛的位置可說是世界級的重量級，但他仍會主動參與其他宗教的活動，甚至謙虛的發問、了解，他曾與許多科學家、哲學家、心理學家對話，並謙虛的向這些所謂的專家們學習請教，學習是什麼？

　　我想，所謂學習，不是一種手段，不是一種謀略，更不是一種身分表徵，而是一種謙卑。

　　因為，學習讓我們看見世界有多大，自己有多麼渺小......

數學家Hadama曾經說過：「如果一個問題不能解決，必定存在更簡單的問題不能解決。」我們首先從這句話中可一窺數學的本質──數學是人為的科學，既是人為，便可究其根底。也許有個小秘訣可以透露給讀者：想學好數學，便要把等式與等式之間的「imply」搞清楚！而如果把每個「imply」當成運作數學的齒輪，那這齒輪運作的條件只接受「公理、定義、定理、和題設」。

自修數學的方法，跟做數學研究的方法有不少相同之處，我想直接討論問題核心──「如何自修？」

態度上，Euclid說過「There is no royal road to mathematics.」無論你抱持甚麼目的學數學，只是為了得到學分、得到某個數學程度的認證或是對數學有興趣、抑或想要深入研究，抱持僥倖絕對沒有辦法得到好結果。實際層面來說，有幾件事情是尤其不能放過：對公理的基本認知、描述（state）定義、了解定理內容、和看清題目假設。我建議讀者在研讀數學知識時，最好隨手抄記文章中作者的定義（Definition）、使用假設（Hypothesis）與結論（conclusion）去描述定理、最後整理概念圖。舉例說明如下：

一個好的定義必然要有嚴謹的邏輯量號，熟悉幾個重要邏輯術語是必要的：

對所有／對任意（for all / for any）、存在（exist）、蘊含（imply）、若且唯若（if and only if）

值得注意的，「對所有」跟「存在」常常混用，像說函數序列{f1. f2, ...}均勻收斂（uniformly converge）的定義，正確敘述為：存在一f，給定任意正數ε，存在正數Ｎ，使得對所有n > N，對任意x，｜fn(x) – f(x) | <ε。沒經過嚴謹數學訓練的人，也許認為表面上眼花就算了，硬是記下來應當沒有問題，但常常寫出證明來便破綻百出了，像是寫成存在一f，存在正數Ｎ，給定任意正數ε，使得對所有n > N，對任意x，｜fn(x) – f(x) | <ε。這種邏輯上的大錯，就連數學系的學生都屢見不鮮，錯在存在跟對所有不能夠互換，意思大有問題！「對天下所有人，存在一個母親」（每個人都有母親）「存在一個母親，對天下所有人。」（有個人是所有人的母親）當然不一樣吧！

敘述定理的能力建立在能夠熟悉使用邏輯符號，我在此推薦大家每看到一個定理，就用假設（H）與結論（C）方式條列出來，舉例來說：均值定理（Mean-Valued Theorem）我們試敘述如下：

(H1) f 在區間[a,b]連續           (C) 存在一ξ屬於(a,b)使得

(H2) f 在區間(a,b)可微            f’(ξ) =[f(b)-f(a)] / (b-a)

這樣就能夠清楚知道由怎樣的假設，可以得到怎樣的結論了！尤其在高等數學中，我們還需要從假設的強弱性去正確引用定理，如此一來可以清楚的做比較。

最後，我們要整理一個章節作者想傳達的概念，常常可以透過圖表來做思考上的整理與複習。學習大學微積分的同學，可能對多變量函數的連續與可微性感到頭痛，我試著表列如下：

 而圖中沒有畫上箭頭的，我們也要為他找到反例。

（不斷默念在心：正確者提出證明，錯誤者提出反例。）

以上我對於學習數學提出一種模式，我們現在來探討閱讀層面：

首先，一本好的教材不可少。所謂好教材，並非是經典巨作就盲目追求。像在分析上，Rudin稱得上一本好書，對於數熱愛研究數學的學生來說，定義跟定理都簡潔的恰到好處。但對於非研究數學的人，看起來簡直像天書。重要的是選擇評價優良，自己讀起來也對味的。如果行有餘力，只選讀一本書只怕是一方之言，有時候我們也必須參考多本著作，有時候不同作者看法觀點各有不同，所謂掌握資訊者掌握先機，尤其對於自修者來說，蒐集資訊的能力必須更加把勁！

有人說，數學之所以開始蓬勃發展，是來自於各個領域的問題。像是當初擺線長問題、面積變化律問題、數列級數...... 使人們開始研究微積分；費馬最後定理，使數學家開始研究代數。而自修數學本身，也需要好好做題目！做題目能讓我們明白如何運用定理，沒有做題目簡直就是沒有把書讀進去。

而做題目也並非盲目，比較有效的方式是，選擇代表性的問題，寫詳解出來，或是與朋友們共同討論解答過程，或是尋求老師訂正。而寫題目最重要的是得到心得！能歸納出解題策略或是解題方針。

接著是理論吸收的部分， 我主張先了解作者想傳達甚麼觀念。同學常常一股腦鑽進證明的細節裡面，或乾脆連證明都不看就去寫題目，忘記本來要傳達的事情。

證明的重要性，在於觸類旁通，以及眼光的傳承、思想的傳遞。有時候，如果真的看幾遍看不懂，不是有志研究數學者，可以不要太拘謹，能瞭解證明的大綱、走向就足夠了，更細的部份比較需要時間消化。

很多人問我問題，其中最低層次的，就是問個問題我要翻書給他看，「諾，這裡定義寫這樣...」

第二個層次就是假讀書，自以為看懂定理，卻不知道怎麼用，不努力寫題目。也有一部分的人忽略記憶的必要性。一些經典的證明有時候必須記憶，因為這對處理數學很多「形狀」，或說思路，很有幫助：同樣的思路，到處都可以用上。

第三個層次，就是題目會做，卻不太會應對新題型。看起來會了但是沒有彈性，基本觀念不夠清楚，做題目做得很熟但沒有抓到感覺。

學習數學的過程，就好像在看一場魔術：用心看的人，可能覺得有趣，就會仔細思考過程中魔術師是如何偷天換日，而不用心看的人，只是坐在那而讓魔術師來騙自己。我們也常這樣，以為自己花很多時間看數學，就應該得到高分，但往往大部分的時間都是虛度，以為只看懂定義定理就夠了，這不就是放著題目在桌上騙自己會做嗎？